Artykuły: : Geometria klasyczna na płaszczyźnie - Twierdzenie Ptolemeusza - Pitagorasa - Matematyk.edu.pl

Twierdzenie Ptolemeusza - Pitagorasa

Twierdzenie Pitagorasa jako szczególny przypadek twierdzenia Ptolemeusza.

Twierdzenie Ptolemeusza głosi, że w czworoboku wpisanym w okrąg iloczyn długości przekątnych równy jest sumie iloczynów długości przeciwległych boków czworokąta.

Twierdzenie to można wypowiedzieć ogólniej:

W czworoboku, którego wierzchołki leżą na okręgu, kwadrat średniej geometrycznej przekątnych równy jest sumie kwadratów średnich geometrycznych przeciwległych boków czworoboku.

rys.1

$(\sqrt{f \cdot g})^2 = (\sqrt{b \cdot d})^2 + (\sqrt{a \cdot c})^2$

Dla czworoboku będącego prostokątem zachodzą zależności:

rys.2

$(\sqrt{f^2})^2 = (\sqrt{a^2})^2 + (\sqrt{b^2})^2 \\<br /> f^2 = a^2 + b^2$

Można więc powiedzieć, że twierdzenie Pitagorasa jest szczególnym przypadkiem twierdzenia Ptolemeusza zachodzącym dla czworoboków będących prostokątami.

Opracował: Wiesław A. Kruszewski