Artykuły: : Trygonometria - Różnica sinusów i cosinusów kąta - Matematyk.edu.pl

Różnica sinusów i cosinusów kąta

$\sin \alpha - sin \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2} \\ \cos \alpha - \cos \beta = - 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2}$

W dowodzie wykorzystamy następującą konstrukcję.

rys.1

Z definicji sinusa i cosinusa mamy, że
$|AD| = \cos \beta \\ |CD| = \sin \beta \\ |AE| = \cos \alpha \\ |BE| = \sin \alpha$
Z konstrukcji mamy, że
$|FE| = |CD| = \sin \beta \\ |FC| = |ED| = \cos \beta - \cos \alpha \\ |BF| = \sin \alpha - \sin \beta$
Z twierdzenia Pitagorasa mamy, że
$|BG| = \sqrt{1 - |AG|^2} = |GC|$
Stąd trójkąty AGB i ACG są przystające. Czyli
$\angle GAB = \frac{\alpha - \beta}{2} \\ |BG| = |GC| = \sin \frac{\alpha - \beta}{2}$
Kąt $\angle FBC$ jest równy $\frac{\alpha + \beta}{2}$ , bo

rys.2

$\angle FBC = 90^o - (90^o - \alpha + \frac{\alpha - \beta}{2}) = \frac{\alpha + \beta}{2}$
Ostatecznie

rys.3

$\cos \frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{|BF|}{|BC|} = \frac{\sin \alpha - \sin \beta}{2 \sin \frac{\alpha - \beta}{2}} \\ \sin \alpha - \sin \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2}$
oraz
$\sin \frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{|FC|}{|BC|} = \frac{\cos \beta - \cos \alpha}{2 \sin \frac{\alpha - \beta}{2}} \\ \cos \beta - \cos \alpha = 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2} \\ \cos \alpha - \cos \beta = - 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2}$

Opracował: z7000