Artykuły: : Trygonometria - Wzór sinusa - Matematyk.edu.pl

Wzór sinusa

$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2 R$

rys.1

Najpierw pokażemy, że
$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}$
Dla dowolnego trójkąta mamy 3 pary boków i odpowiadające im kąty. Każda z par jest jednym z trzech przypadków.

Przypadek 1 Oba kąty ostre

rys.2

$\frac{h}{b} = \sin \alpha \\ \frac{h}{a} = \sin \beta$
Czyli
$h = b \sin \alpha \\ h = a \sin \beta$
Stąd
$b \sin \alpha = a \sin \beta \\ \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta}$
Przypadek 2 Jeden z kątów jest prosty

rys.3

$\frac{a}{b} = \sin \alpha \\ b = \frac{a}{\sin \alpha} \\ \frac{b}{\sin 90^o} = \frac{a}{\sin \alpha}$
Przypadek 3 Jeden z kątów jest rozwarty

rys.4

$\frac{h}{a} = \sin \beta \\ \frac{h}{b} = \sin (180^o - \alpha) = \sin \alpha$
Czyli
$b \sin \alpha = a \sin \beta \\ \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta}$
Stąd mamy
$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}$
Na koniec pokażemy, że iloraz ten jest równy średnicy kręgu opisanego na tym trójkącie.

Wiadomo, że jeden z kątów trójkąta jest ostry.

rys.5

Dobieramy kąt wpisany, tak aby jedno z jego ramion przechodziło przez środek okręgu. Powstanie wtedy trójkąt prostokątny (bo oparty na średnicy okręgu). Wtedy
$\frac{a}{2 R} = \sin \alpha \\ \frac{a}{\sin \alpha} = 2 R$
Czyli
$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2 R$

Opracował: z7000