Artykuły: : Trygonometria - Wzór cosinusów - Matematyk.edu.pl

$c^2 = a^2 + b^2 - 2 a b \cos \gamma$

rys.1

Ze wzoru sinusów mamy, że
$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} \\ a \sin \beta = b \sin \alpha$

rys.2

Zachodzi następujący wzór
$c = a \cos \beta + b \cos \alpha$
słuszny również gdy jeden z kątów jest kątem rozwartym.

Stąd
$c^2 = (a \cos \beta + b \cos \alpha)^2 = \\ = a^2 \cos^2 \beta + b^2 \cos^2 \alpha + 2 a b \cos \alpha \cos \beta = \\ = a^2 (1 - sin^2 \beta) + b^2 (1 - \sin^2 \alpha) + 2 a b \cos \alpha \cos \beta = \\ = a^2 + b^2 - a^2 \sin^2 \beta - b^2 \sin^2 \alpha + 2 a b \cos \alpha \cos \beta = \\ = a^2 + b^2 - (a \sin \beta) \cdot (a \sin \beta) - (b \sin \alpha) \cdot (b \sin \alpha) + 2 a b \cos \alpha \cos \beta$
Wykorzystując zależność uzyskaną ze wzoru sinusa otrzymujemy
$c^2 = a^2 + b^2 - (a \sin \beta) \cdot (b \sin \alpha) - (b \sin \alpha) \cdot (a \sin \beta) + 2 a b \cos \alpha \cos \beta = \\ = a^2 + b^2 - 2 a b \sin \alpha \sin \beta + 2 a b \cos \alpha \cos \beta = \\ = a^2 + b^2 + 2 a b (\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta) = \\ = a^2 + b^2 + 2 a b \cos (\alpha + \beta) = \\ = a^2 + b^2 + 2 a b \cos (180^o - \gamma) = \\ = a^2 + b^2 - 2 a b \cos \gamma$

Opracował: z7000