Artykuły: : Trygonometria - Wzór tangensów - Matematyk.edu.pl

Wzór tangensów

$\frac{\tan \frac{\alpha + \beta}{2}}{\tan \frac{\alpha - \beta}{2}} = \frac{a + b}{a - b}$

dla
$\alpha > \beta$

rys.1

W dowodzie wykorzystamy następującą konstrukcję.

rys.2

Z konstrukcji mamy
$|CD| = |CB| = |CE|$
oraz
$|AE| = a + b \\<br /> |DA| = a - b$
Teraz mamy, że
$\angle BCE = 180^o - (180^o - (\alpha + \beta)) = \alpha + \beta$
Ponieważ $\triangle BCE$ jest trójkątem równoramiennym, więc
$\angle CEB = \angle EBC = \frac{180^o - (\alpha + \beta)}{2} = 90^o - \frac{\alpha + \beta}{2}$
$\angle EBD = 90^o$ , bo jest oparty na średnicy okręgu. Stąd
$\angle ABD = 90^o - (\beta + (90^o - \frac{\alpha + \beta}{2})) = \frac{\alpha - \beta}{2}$
Więc
$\angle BDA = 180^o - ((180^o - \alpha) + \frac{\alpha - \beta}{2}) = \frac{\alpha + \beta}{2}$
Ponieważ $\triangle DEB$ i $\triangle DAF$ są podobne, więc
$(*) \frac{|DE|}{|DB|} = \frac{|DA|}{|DF|}$
Z twierdzenia Talesa mamy, że
$\frac{|FB|}{|DB|} = \frac{|AE|}{|AC|}$
Stąd
$\frac{|AE|}{|FB|} = \frac{|DE|}{|DB|}$
Z definicji tangensa mamy, że
$\frac{\tan \frac{\alpha + \beta}{2}}{\tan \frac{\alpha - \beta}{2}} = \frac{\frac{|AF|}{|DF|}}{\frac{|AF|}{|BF|}} = \frac{|BF|}{|DF|}$
Korzystając z proporcji (*) mamy
$\frac{|BF|}{|DF|} = \frac{|AE|}{|DA|}$
Czyli
$\frac{\tan \frac{\alpha + \beta}{2}}{\tan \frac{\alpha - \beta}{2}} = \frac{|AE|}{|DA|} = \frac{a + b}{a - b}$

Opracował: z7000