Artykuły: : Trygonometria - Wzór Mollweidego - Matematyk.edu.pl

Wzór Mollweidego

$\frac{a - b}{c} = \frac {\sin \frac {\alpha - \beta}{2}}{\cos \frac {\gamma}{2}}$

dla $a > b$ .

W dowodzie wykorzystamy następującą konstrukcję

Krok 1

Krok 2

Krok 3

Krok 4

Z konstrukcji mamy, że

$|AC| = |CD| = b \\<br /> |BD| = |BE| = a - b$

Stąd trójkąty $\triangle ADC$ i $\triangle BED$ są równoramienne.

Stąd mamy, że

$\angle FCD = \angle ACF = \frac{\gamma}{2}$

Więc

$\angle FAC = \angle FDC = 90^o - \frac{\gamma}{2}$

Mamy

$\angle FDC = \angle EDB$

Stąd

$\angle DEB = 90^o - \frac{\gamma}{2}$

Mamy również

$\angle BAD = \alpha - \frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{\alpha - \beta}{2}$

Ze wzoru sinusów mamy, że

$\frac{a - b}{\sin \frac{\alpha - \beta}{2}} = \frac{c}{\sin (90^o - \frac{\gamma}{2})}$

Z tego, że

$\sin (90^o - \frac{\gamma}{2}) = \cos \frac {\gamma}{2}$

mamy ostatecznie

$\frac {a - b}{\sin \frac{\alpha - \beta}{2}} = \frac{c}{\cos \frac{\gamma}{2}} \\<br /> \fbox {\frac{a - b}{c} = \frac {\sin \frac {\alpha - \beta}{2}}{\cos \frac {\gamma}{2}}}$

Opracował: z7000